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COMPARATIVE ZOÔLOGY,

AT HARVARD COLLEfiE, CAMBRIDGE, MASS. jFounftrti fij) prtbate sufiscrfplfon, fn '1861.

Deposited by ALEX. AGASSIZ.

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COMPTES RENDUS

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HEBDOMADAIRES

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES

PARIS. IMPRIMERIE DE GAliTIIIER-VILLARS ET FILS, Ql'A) DES GRAXDS-AUGUSTINS, 55.

COMPTES RENDUS

HEBDOMADAIRES

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES

l'IBMÉS,

CONFORMÉMENT A UNE DÉCISION DE L'ACADÉMIE PAR MM. LES SECRÉTAIRES PERPÉTUELS.

TOME CENT- SIXIEME

JANVIER - JUIN 1888.

PARIS,

GAUTHFER-VILLARS ET FILS, I.MPRLMEURS-LIBRAIRES

DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,

Quai des Graiids-Aiigiistins, 55.

1888

êo^

/ PREMIER SEMESTRE.

COMPTES RENDUS

HEBDOMADAIRES

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,

PAR MM. I.ES SErKÉTAIKÉS PERPÉTlIEIiS.

TOME CVI.

NM fî2 Janvier 1888

PARIS,

GAUTHIEK-MLLARS FILS, IMPUI.MEUHS-LIHHAIRES

DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'AC.VDÉMIE DES SCIENCES,

Quai des Grands-.Vugusiius, 5J.

l.S.SS

RÈGLEMENT RELATIF AUX COMPTES RENDUS.

Adopté dans les séances des aS juin 1862 et 24 mai 1876.

Les Comptes rendus hebdomadaires des séances de I! Académie se composent des extraits des travaux de ses Membres et de l'analyse des Mémoires ou Notes présentés par des savants étrangers à l'Académie.

Chaque cahier ou numéro des Comptes rendus a 4B pages ou 6 feuilles en moyenne.

26 numéros composent un volume.

Il y a deux volumes par année.

ARTICLE l^"^. Impression des travaux de V Académie.

Les extraits des Mémoires présentés par un Membre ou par un Associé étranger de l'Académie comprennent au plus 6 pages par numéro.

Un Membre de l'Académie ne peut donner aux Comptes rendus plus de 5o pages par année.

Les communications verbales ne sont mentionnées dans les Comptes rendus, qu'autant qu'une rédaction écrite par leur auteur a été remise, séance fenante, aux Secrétaires.

Les Rapports ordinaires sont soumis à la même limite que les Mémoires; mais ils ne sont pas com- pris dans les 5o pages accordées à chaque Membre.

Les Rapports et Instructions demandés par le Gou- vernement sont imprimés en entier.

Les extraits des Mémoires lus ou communiqués par les correspondants de l'Académie comprennent au plus 4 pages par numéro.

Un Correspondant de l'Académie ne peut donner plus de 32 pages par année.

Dans les Comptes rendus, on ne reproduit pas les iiscussions verbales qui s'élèvent dans le sein de l'Académie; cependant, si les Membres qui y ont pris part désirent qu'il en soit fait mention, ils doi- vent rédiger, séance tenante, des Notes sommaires, dont ils donnent lecture à l'Académie avant de les remettre au Bureau. L'impression de ces Notes ne préjudicie en rien aux droits qu'ont ces Membres de lire, dans les séances suivantes, des Notes ou Mé- moires sur l'objet de leur discussion.

Les Programmes des prix proposés par l' Académie sont imprimés dans les Comptes rendus, mais les Rap ports relatifs aux prix décernés ne le sont qu'autan que l'Académie l'aura décidé.

Les Notices ou Discours prononcés en séance pu blique ne font pas partie des Comptes rendus.

Article 2. Impression des travaux des Savants étrangers à l'Académie.

Les Mémoires lus ou présentés par des personne qui ne sont pas Membres ou Correspondants de l'Aca demie peuvent être l'objet d'une analyse ou d'un sumé qui ne dépasse pas 3 pages.

Les Membres qui présentent ces Mémoires son tenus de les réduire au nombre de pages requis. L' Membre qui fait la présentation est toujours nommé mais les Secrétaires ont le droit de réduire cet Extrai autant qu'ils le jugent convenable, comme ils le fon pour les articles ordinaires de la correspondance olfi cielle de l'Académie.

Article 3.

Le bon à tirer Ae chaque Membre doit être remis ; l'imprimerie le mercredi au soir, ou, au plus tard, h jeudi à 10 heures du matin ; faute d'être remis à temps le titre seul du Mémoire est inséré dans \eCompte rendi actuel et l'extrait est renvoyé au Compte rendu sui vaut, et mis à la fin du cahier.

Article 4. Planches et tirage à part.

Les Comptes rendus n'ont pas île planches.

Le tirage à part des articles est aux frais des au teurs; il n'y a d'exception que pour les Rapports e les Instructions demandés par le Gouvernement.

Article 5.

Tous les six mois, la Commission administrative fai un Rapport sur la situation des Comptes rendus aprè; l'impression de chaque volume.

Les Secrétaires sont chargés de l'exécution du pré sent Règlement.

Les savants étrangers à l'Académie qui désirent iava. préseiuer déposer au Secrétariat au plus tard le Samedi qui précède la séance,

.eurs Mémoires par MM. les Secrétaires perpétuels sont priés de le avant Si*. Autreme^la présentation sera remise à la séance suivante

</

ÉTAT DE L'ACADEMIE DES SCIENCES

Ail 1" mmi{ 1888.

SCIENCES MATHEMATIQUES. Section- I'^. Géométrie.

Messieurs :

Hermite (Charles) (c. «). Bonnet (Pierre-Ossian) (o. ft). Jordan (Marie-Enneniond-Camille) ? . Darboux (Jeaa-Gaston) . HALPHEN (Georges-Henri) *. PoiNCARÉ (Jules-Henri).

Sectio.v II. Mécanique.

Phillips (Edouard) (o. s).

Resal (Henry-Amé) (o. *).

LÉVY (Maurice) (o. *).

BOUSSINESQ (Valentin- Joseph) *.

Deprez (Marcel) (o. *).

Sarrau (Jacqucs-Rose-Ferdinand-Émile) (o. ^;).

Section III. Astronomie.

Faye (Hervé-Auguste-Étienne-Albans) (c. *).

Janssen (Pierre- Jules-César) (o. «).

Lœwy (Maurice) (o. s).

Mouchez (Contre-Amiral Ernest-Amédée-Barthélemy) (c. «.•).

Tisserand (François-Félix) *.

WOLF (Charles-Joseph-Etienne) *.

Section IV. Géographie et Navigation.

Paris (Vice-Amiral François-Edmond) (g. c. a).

Jurien de la GraviÈRE (Vice-Amiral Jean-Pierre-Edmond) (g. C. ft).

Abbadie (Antoine-Thonipson d') ,*.

Perrier (Général François) (c. w).

Bouquet de la Grye (Jean-Jacques-Anatolo) (o. -a).

Grandidier (Alfred) s.

6 ÉTAT DE l'académie DES SCIENCES.

Section Y. Physique générale.

Messieurs :

FiZEAU (Armaml-Hippolyte-Loiiis) (o. *). Becquerel (Alexandre-Edmond ) (c. « ). Berthelot (Marcelin-Pierre-Eugène) (g. o. « ). Cornu (Marie-Alfred) *. Mascart (Éleuthère-Élie-Nicolas) (o.-*). LiPPMANN (Gabriel) *.

SCIENCES PHYSIQUES.

Section YI. Chimie.

Chevreul (Michel-Eugène) (g. c. *).

Fremy (Edmond) (c. *•).

Cahours (Auguste-André-Thomas) (c. ^).

Debray (Jules-Henri) (o. ^).

Friedel (Charles) (o. *).

Troost (Louis-Joseph) (o. ft).

Section YII. Minéralogie.

Daubrée (Gabriel-Auguste) (g. o. #).

Des Cloizeaux (Alfred-Louis-Olivier J^egrand) *.

Hébert (Edmond) (c. *).

FOUQUÉ (Ferdinand-André) *.

Gaudry (Jean-Albert) (o. *).

N

Section YIII. Botanique.

DUCHARTRE (Pierre-Étienne-Simon) (o. *).

Naudin (Charles-Victor) *.

TrÉCUL (Aiiguste-Adolphe-Lucien).

Chatin (Gaspard-Adolphe) (o. !a).

Van Tieghem (Philippe-Édouard-Léon) *.

Bornet (Jean-Baptiste-Édouard) *.

^

ÉTAT D1-; l'acADKiMIE DI-S SCII'.N'CES. Section- IX. Économie rurale.

Messieurs :

Peligot (Eugène-JMelchior) (g. o. »). Mangon (Charles-François-IIervé) (c. «). ScilLŒSiXG (Jean-Jarques-Théophile) (o. «). Reiset (Jules) (o. *). Chauveau (Jcan-Baptiste-Auguste) (o. *). Dehérain (Pierre-Paul) *.

Section X. Anatomie et Zoologie.

QlATREFAGES DE BrÉAU (Jeaii-Louis-Armand DE) (c. *•). Blaisxhard (Charles-Emile) (o. *). Lacaze-Duthiers (Félix-Joseph-Henri de) (c. ft). Edwards (Alphonse-MiLNE) (o. *). Sappey ( Phiberl-Constaut) (c. *■). Ranvier (Louis-Antoine) *.

Section XI. Médecine et Chirurgie,

Marey (Étienne-Jules) (o s).

RiCHET (Didier-Doniinique-Alfred) (c. *).

Charcot (Jean-Marlin; (o. *).

Brown-SÉQUARD (Charles-Edouard) *.

Bouchard (Charles-Jacques) *.

Verneuil (Aristide-Auguste-Stanislas) (o. *).

SECRETAIRES PERPETUELS.

Bertrand (Joseph-Louis-François) (c. «), pour les Sciences

mathématiques. Pasteur (Louis) (g. c. *), pour les Sciences physiques.

ETAT DE L ACADEMIE DES SCIENCES.

ACADÉMICIENS LIBRES.

Messieurs :

Larrey (le Baron Félix-Hippolyte) (g. o. *).

COSSON (Ernest-Saint-Charles) O. *.

Lesseps (Ferdinand-Marie de) (g. C. *).

Favé (Général Idelphonse) (G. O. *).

Damour (Augnstin-Alexis) (o. *).

Lalanne (Léon-Louis Chrétien-) (g. o. *).

Freycinet (Charles-Louis de Sal'LCES de) (o. «).

Hatonde la GoupilliÈRE (Julien-Napoléon) *.

JONQUIÈr.ES (Vice-Amiral Jean-Phili]ipe-Ernest DE Fauque DE)

(g. o. *). Cailletet (Louis-Paul) ;».

ASSOCIÉS ÉTRANGERS.

OWEN(Sir Richard) (o. *), à Londres.

RUMMER (Ernest-Édouard), à Berlin.

AiRY (Sir George-Biddell) *, à Greenwich.

ÏCHÉBICIIEFF (Pafnutij), à Saint-Pétersbourg.

Candolle (Alphonse de) *, à Genève.

S. M. Dom Pedro d'Alcantara (g. c. *), Empereur du Brésil.

Thomson (Sir WiUiam) (c •*), à Glascow.

Bunsen (Robert-Wilhelm-Eberhard) (o. *), à Heidelberg.

CORRESPONDANTS.

Nota. Le règlemcnl ilii G juin i8oS donne à chaque SecLion le nombre de Correspondants suivant.

SCIENCES MATHÉMATIQUES. Section I''^ Géométrie (G).

Neumann (Franz-Ernest), à Kœnigsberg. Sylvester (James-Joseph), à Baltimore. Weierstrass (Charles) «, à Berlin. Kronecker (Léopold) *■, à Berlin. Brioschi (François), à Milan. Salmon (George;, à Dublin.

ÉTAT DE l'académie DES SCIKXCKS. Section II. Mécanique {G) .

Messieurs :

Clausius (Juliiis-Emmanuel-Riulolph) (o. *), à Bonn.

Caligny (Anatole-François HuE, Marquis de) *, à Versailles.

Broch (Ole-Jacob) (o. *), à Christiania.

BOILEAU (Pierre-Prosper) (o. *), à Versailles.

COLLADON (Jean-Daniel) *, à Genève.

Dausse (Marie-François-Benjaniin) ■^., à Grenoble.

Section III. Astronomie (iG).

IIlND (John-Russell), à Londres.

Adams (J.-C), à Cambridge.

Cayley (Arthur), à Londres.

Struve (Otlo-Wilhelm) (c. ■*;), à Pulkova.

Lockyer (Joseph-Norman), à Londres.

HUGGINS (William), à Londres.

Newcomb (Simon), à Washington.

Stephan (Jean-Marie-Édouard), *, à Marseille.

Hall (Asaph), à Washington.

Gyldén (Jean-Auguste-Hugo) ;», à Stockholm

Schiaparelli (Jean-Virginius), à Milan.

De la Rue (Warren), (c. *), à Londres,

Gould (Benjamin-Apthorp), à Cordoba.

WOLF (Rudolf), à Zurich.

N

N

Section IV. Géographie et Navigation (cS).

TCHIHATCHEF (Pierre-Alexandre DE ) (c. « ), à Saint-Pétersbourg. Richards (Contre-Amiral George-Henry), à Londres. David (Abbé Armand), missionnaire en Chine. Ledieu (Alfred-Constant-Hector) (o. «), à Versailles. NORDENSKIÔLD (Nils-AdoU-Erik Baron) (c. * ), à Stockholm. Ibanez DE IBERO (Général Charles) (G. o. S), à Madrid. PiSSIS (Pierre- Joseph-Aimé) «, à Santiago. N

c. R., 1888, I" Semestre. (T. CVI, N" 1.)

lO ÉTAT DE l'académie DES SCIENCES.

Section V. Physique générale (9).

Messieurs :

Weber (Wilhelm), à Gottingiie. HlRN (Gustave- Adolphe), à Colmar.

Helmholtz (Hermann-Louis-Ferdinand) (c. S;), à Berlin. ^ Joule (James-Prescott), à Manchester.

Stokes (George-Gabriel), à Cambridge. Abria (Jéréraie-Joseph-Benoît) (o. *), à Bordeaux. Croya (André-Prosper-Paul) *, à Montpellier.

N

N

SCIENCES PHYSIQUES.

Section VI. Chimie (9).

HOFMANN (Auguste-Wilhelm), à Berlin.

Marignac (Jean-Charles Galissard de), à Genève.

Franklaxd (Edward), à Londres.

WiLLiAMSO.X (Alexander-William), à Londres.

Lecoq de Boisbaudran (Paul-Émile dit François) », à Cognac.

Chancel (Gustave-Charles-Bonaventure) (o. »), à Montpellier.

Stas (Jean-Servais) *, à Bruxelles.

Reboul (Pierre-Edmond) s, à Marseille.

Baeyer (Adolf de), il Munich.

Section- VII. Minéralogie (8).

ROKSCHAROW (Général Nicolas de), à Saint-Pétersbourg.

Lory (Charles) *, à Grenoble.

Favre (Jean- Alphonse), à Genève.

Hall (James), à Albany.

Prestwicii (Joseph), à Oxford.

Gosselet (Jules-Auguste-Alexandre) *, à Ldle.

Dechen (Ernest-Henri-Charles DE) (o. *), à Bonn-sur-Rhin.

SCACCHI (Arcangelo), à Naples.

\

ETAT DE L ACADÉMIE DES SCIENCES. i i

Section VIII. Botanique (lo).

Messieurs :

HOOKER (Jos. Daltou), à Rew.

Pringsheim (Nathanael), à Berlin.

PlANCHON (Jules-Emile) «.«, à Montpellier.

Saporta (Louis-Charles-Joseph-Gaston, Comte de) ft, à Aix.

Gray (Asa), à Cambridge (Massachussets).

Clos (Dominique), à Toulouse.

SiRODOT (Simon) «, à Rennes.

Graxd'Eury (François-Cyrille) «, à Saint-Étienne.

Agardh (Jacob-Georg), à Lund.

N

Section IX. Économie rurale (lo).

MARTINS (Charles-Frédéric) (o. ^), à Montpellier.

Mares (Henri-Pierre-Louis) *, à Montpellier.

Lawes (John-Bennet), à Rothamsted, Saint-Albans station ( Her-

fortshire). Gasparin (Paul-Joseph de) «, à Orange. Demontzey (Gabriel-Louis-Prosper) ^, à Aix. Gilbert (Joseph-Henry), à Rothamsted, Saint-Albans station (^Her-

fortshire). CORVO (Joào de Andrade) (g. c. p,), à I^isbonne. Lechartier (Georges-Vital), à Rennes. Menabrea (le comte Louis-Frédéric) (c. *), à Rome. HOUZEAU (Auguste) *, à Rouen.

Section X. Anatomie et Zoologie (lo).

Beneden (Pierre-Joseph yan) (o. *), à Louvain. LOYÉN (Svenon-I^ouis), à Stockholm. Steenstrup (Japetus), à Copenhague. Dana (James-Dwight), à New-Haven. Huxley (Thomas-Henry), à Londres. Vogt (Cari) «, à Genève.

Agassi z (Alexandre), à Cambridge (États-Unis). FABRE (Jean-Henri) w, à Sérignan (Vaucluse). Cotteau (Gustave-Honoré) *, à Auxerre. Marion (Antoine-Fortuné) *, à Marseille.

12 ETAT DE L ACADEMIE DES SCIENCES.

Section XI. Médecine et Chirurgie (8).

Messieurs :

ViRCHOW (Riulolph de), à Berlin.

Ollier (Louis-Xavier-Édouard-Lcopold) (o. 'k), à Lyon. Tholozan ( Joseph-Désiré) (o. *), à Téhéran. DONDERS (François-Corneille), à Utrecht. PALASCIANO (Fcrdinand-Antoine-Léopold ), à Naples. Hannoyer (Adolphe), à Copenhague. Paget (sir James), à Londres. LÉPINE (Jacques-Raphaël) «, à Lyon.

Commission pour administrer les propriétés et fonds particuliers

de r Académie. Becquerel. Fremy.

Et les Membres composant le Bureau.

Changements sun'enus dans le cours de l'année 1887. {Voir à la page 16 de ce Volume.)

»««o«

COMPTES RENDUS

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.

SEANCE DU LUNDI 2 JANVIER 1888.

PRÉSIDENCE DE M. JANSSEN.

REIVOtlVELLEMENT ANNUEL

DE LA COMMISSION ADMINISTRATIVE,

L'Académie procède, par Li voie du scrutin, à la nomination de deux de ses Membres qui devront faire partie, en i888, de la Commission centrale administrative.

MM. Fremy et Ed.m. Becquekel réunissent la majorité des sulFrages.

( i4 )

Conformément au Règlement, le Président fait connaître l'état se trouve l'impression des Recueils que l'Académie publie et les change- ments survenus parmi les Membres et les Correspondants de l'Académie pendant le cours de l'année.

M. Jaxssex donne à cet égard les renseignements suivants :

État de l'impression des Recueils de V Académie au \" janvier 1 888.

Volumes publiés.

Comptes rendus des séances de l' Académie. Le Tome Cil (i*'' semestre 1886) et le Tome CIII ( 2^ semestre 1886) ont paru avec leur Table.

Les numéros de l'année 1887 ont été mis en distribution avec la régula- rité habituelle.

Mémoires présentés par divers savants. Le Tome XXTX a été mis en distribution au mois de mars dernier. Ce Tome renferme le Mémoire de ?.I. J.-S. Smith sur la représentation des nombres par des sommes de cinq carrés; celui de M. Minkowski sur la théorie des formes quadratiques à coefficients entiers, et celui de M. Appell, intitulé : « Déblais et remblais des systèmes continus ou discontinus ».

Volumes en cours de publication.

Mémoires de l'Académie. Le Tome XLIII est réservé au Mémoire de M. Yvon Villarceau sur rétablissement des arches de pont. 35 feuilles sont tirées : 17 pour le texte et 18 pour les Tables. L'impression est mo- mentanément suspendue.

Le Tome XLIV renferme trois Mémoires de M. Becquerel sur la tempé- rature de l'air à la surface du sol et sous la terre jusqu'à 36"' de proton- deur. Ces trois Mémoires forment i5 feuilles tirées.

Viennent ensuite : le Mémoire de M. de Jonquières, intitulé : « Théorie élémentaire, d'après les méthodes de Poinsot, du mouvement de la tou- pie, etc. », qui forme 4 feuilles tirées, et le Mémoire de M. de Saint- Venant « Sur la résistance des fluides », renfermant 35 feuilles tirées.

L'imprimerie a épuisé sa copie.

Mémoires présentés par divers savants. T,e Tome XXX renferme un Mé-

( i5 ) moire de M. Soiiillart, iiitilulé : « Théorie ;nialui({uc des nioiivcmcnts des satellites de Jupiter », qui forme 2j feuilles tirées; un Rlcmoire de MM. Giiyou et Simart, portant pour titre : « Développements de géométrie du navire avec applications aux calculs de stabilité des navires ». Il forme ç) feuilles tirées.

Vient ensuite un Mémoire intitulé : « Mission d'Andalousie. Études relatives au tremblement de terre du 25 décembre 1884, et à la consti- tution géologique du sol ébranlé par les secousses ».

Ce Mémoire, publié, sous la direction de M. Fouqué, par MM. Michel Lévy, Marcel Bertrand, Barrois, Oiïret, Kilian, Bergcron et Bréon, forme actuellement 24 feuilles tirées.

La composition continue.

Changements survenus parmi les Membres depuis le i" Janvier 1887.

Membres décédés.

Section d' Economie rurale : M. Boussi.vgault, décédé le i i mai. Section de Médecine et Chirurgie : M. Gosselix, décédé le 3o avril. Secrétaire perpétuel : M. Vulpian, décédé le 18 mai.

Ment l)rcs élus.

Section de Géométrie : M. Poixcaré. le 3i janvier, en remplacement de M. Laguerre, décédé.

Section d' Économie rurale : M. Dehérai.\, le 12 décembre, en rcmj)lace- ment de M. Boussingault, décédé.

Section d'Anatomie et Zoologie : M. Raxvier, le 24 janvier, en remplace- ment de M. Robin, décédé.

Section de Médecine et Chirurgie : M. Bouchard, le 23 mai, en remplace- ment de M. Bert, décédé; M. Veuneuil, le 20 juin, en remplacement de M. Gosselin, décédé.

Secrétaire perpétuel : M. Pasteur, le 18 judlet, en remplacement de M. Vulpian, décédé.

Membre à remplacer.

Section de Minéralogie : M. Pasteur, élu Secrétaire perpétuel.

( i6)

Changements survenus parmi les Correspondants depuis le i"' Janvier 1887.

Co rrespo u da nls décèdes .

Section de Physique générale : M. Teuquem, à Lille, décédé le 16 juillet;

M. KiRciiiioFF, à Berlin, décédé le 17 octobre.

Section de Minéralogie : M. Studek, à Berne, décédé le 2 mai.

Section de Médecine et Chirurgie : M. Leudet, à Rouen, décédé le

5 mars.

Correspondants élus.

Section de Minéralogie : M. de Deche.v, à Bonn, le 3i mai, en remplace- ment de M. Abich, décédé; M. Scacciii, à Naples, le 2.5 juillet, en rempla- cement de M. Studer, décédé.

Section d'Économie rurale : M. le comte Menabrea, à Rome, le 7 février, en remplacement de M. Reiset, élu membre titulaire; M. Houzeau, à Rouen, le 21 février, en remplacement de M. de Vergnette-Lamotte, décédé.

Section d' Anatomie et Zoologie : M. Caul Vogt, à Genève, le 27 juin, en remplacement de M. Brandt, décédé; M. Alexandre Agassiz, à Cam- bridge (États-Unis), le 4 juillet, en remplacement de M. Mulsant, décédé; M. Fabre, à Sérignan (Vaucluse), le 1 1 juillet, en remplacement de M. de Sicbold, décédé; M. Cotteau, à Auxerre, le 18 juillet, eu remplacement deM. Joly, décédé; M. Mariox, à Marseille, le 25 juillet, en remplace- ment de M. Carpenter, décédé.

Section de Médecine et Chirurgie : M. Leidet, à Rouen, le i4 février, en remplacement de M. Chauveau, élu membre titulaire; M. Lépixe, à Lyon, le 1 1 juillet, en remplacement de M. Leudet, décédé.

Correspondants à retnplacer.

Section d' Astronomie : M. Roche, à Montpellier, décédé le 18 avril i883; M, d'Oppolzer, à Vienne, décédé le 26 décembre 1886.

Section de Géograpldc et Navigation : M. le général Sabixe, à Londres, décédé le 26 juin i883.

Section de Physique générale : M. Terquem, à Lille, décédé le 16 juillet 1887; M. KiRciiiioFF, à Berlin, décédé le 17 octobre 1887.

( ■; ) Sf'clin/i fh' Bnla/ii(iiie : M. Binssimt, à Genève, décédé le 20 septembre i885.

MEMOIRES ET COMMUrVICATlOIVS

DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE.

CALCUL DES PROBABU.ITÉS. Sur l' nssorialion des électeurs par le sort ;

par M. J. BEiiTitvM).

« On a remarcpié plusieurs fois qu'en partageant un pays en collèges électoraux dans lesquels le sort associerait un nombre désigné d'élec- teurs, le résultat serait très loin de représenter la proportion dos opi- nions (pii partagent le pays. L'opinion dominante serait favorisée dans une proportion qu'un calcul exact fait connaître et qui dépasse toute jjrévi- sion.

- )) Supposons qn'une urne contienne des boules blanches et des boules noires en proportion telle que la probabilité de tirer une boule blanche soit p et celle de tirer une boule noire égale à q.

» Si l'on tire au sort un nombre de boules égal à [j., la combinaison la plus probable est celle qui associera [j.p boules blanches à \j.q boules noii-es, mais il y aura très probablement un écart h. T>e ])ri\ dont il faudrait

payer équitablement une somme promise à l'avance et égale à {-\ est

exactement

(') ■^'

et celui d'une somme égale à (^\" est approximativement

(,) ,.3.5.. ,(.»^ .)(■¥')•

» L'expression (2), pour une valeur doun.'eder/, est nunima quand on a

2 n + I = ;

elle a alors pour valeur approchée (3)

G. R., 188». I" Semestre. (T. CVI, l )

( )

» si l'on suppose a = 20000, p = o,45, q =: o, .'J5, a = 1000, 7} --= 100, l'expression (3), dont ces hypothèses rendent hi petitesse excessive, re- présentera la somme dont on devrait payer éqnitablement une promesse qui, entre beaucoup d'autres avantages, assurerait une somme de i*^' si, sur 20000 électeurs réunis par le sort, la majorité se trouvait acquise a l'opinion qui compte dans le pays les 0,45 du nombre total des électeurs.

» En maniant pendant quelques secondes une pièce de 10 centimes, la valeur du cuivre détaché de la pièce, pour rester adhérent à la main, représenterait certainement une somme plus grande que

'^"V^-

» La promesse d'un million, même celle d'un milliard, par chacun des représentants de la minorité élus dans les conditions supposées, serait évaluée beaucoup trop cher pour l'ensemble des élections en la payant 1 centime.

» J'ai traité la question d'une manière plus directe. Supposant looooooo d'électeurs, parmi lesquels 45ooooo d'une opinion, nous les nommerons les blancs, et 55ooooo de l'opinion opposée, ce seront les noirs.

» Si l'on charge le hasard de former i 000000 de groupes de 10, de réunir ensuite ces groupes 10 par 10 pour former 1 00000 groupes de 100, puis les groupes de 100 lo par 10, pour former loooo groupes de 1000, et les groupes de 1000, enfui, 10 par 10, pour former 1000 groupes de 10 000, voici les nombres les plus probables des groupes dans lesquels les blancs sont en majorité :

261540 groupes de 10, soit 0,261 du nombre total,

1.5766 » 100, » o, 157 i>

8 » loûo, » 0,0008 0

o » loooo, » 0,000000 »

» La probabilité pour que, sur 5oo députés élus en suivant cette mé- thode, la minorité, qui compte dans le pays les o,45 des électeurs, ob- tienne un seul représentant, est plus petite que celle de gagner 2 quines de suite à la loterie.

)) La nomination d'un représentant de la minorité pourrait être consi- dérée comme absolument impossible.

( "J )

» I/ex|)criencc contredit cii apparence cette assertion; mais l'associa- tion (les électeurs d'un même département ou d'un même arrondisse- ment n'est pas équivalente à un tirage au sort entre tous les habitants du pays. Les intérêts communs et des influences semblables corrigent dans une proportion inaccessible de calcul les lois du hasard sans cela très cer- taines. »

GÉOMÉTRIE. Détermination du nombre maximum des points doubles, pro- prement dits, qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algé- brique, de degré m, dont la détermination est complétée par d'autres points simples donnés; par M. de Joxquières (' ).

« I. Lorsqu'un point simple de la base d'un faisceau (n) de surfaces algébri([ues se trouve superposé à un point simple de la base d'un second faisceau (/«') projeclif au piemier, ce point devient un point double sur la surface S,„, d'ordre m n + n' , engendrée par les deux faisceaux. Si un point double fait partie des données qui déterminent S,„, il y tient lieu de quatre points simples ( -).

» J'ai fait connaître, dans une précédente Comnuinicalion ('), qu'une

surface de degré /n, déterminée par D„, - ~(m- -\- Urn \- ii) points simples

(I) Dans ma Communication du 19 décembre (Cow/J^es /««(/wi-, t. CV, p. i2o4):

A la ligne 6, en remontant, au lieu de « nota (i), lisez : nota (■}.) de la page laoS».

El page 1207, lignes i, 2, 6 et 7, au lieude«n = ig, n'=ii», lisez:«n=2i, n' g»,

ainsi qu'il est dit à la ligne 8, cette faute n'a pas été commise dans la copie.

(-) l^lus généralement, un point /"p'" (ordinaire) donné tient lieu, pour la déter-

,,.,,. . ] /-(r + !)(/•+ a) minalion de la surface de degré m à laquelle il doit appartenir, de g

points simples. Gela résulte immédiatement de ce que celle condition annule pareil nombre des premiers termes de l'équation de la surface rapportée à des axes ayant leur origine en ce point. On le conclut aussi, non moins simplement (et phis fféomé- iriquement), de ce qu'un cône de degré /', ayant son sommet en ce point, est déter- miné par les ^— - points qui déterminent sa base sur un plan sécant, et par son

sommet qui est un point /"i'"- sur cette surface de degré /■. Donc ce sommet équivaut,

/■ rir + i) r(r -k- i){r -\- 1) . . . , lui seul, àg(H + 6/H-ii)- ^ ^ = - ^ ^ points simples.

(^) Comptes rendus, t. CV, p. 1204 et suivantes.

( 20 )

donnes, peut toujours, quelque soit m, être engendrée (et même, en géné- ral, de plusieurs manières) à l'aide de deux faisceaux projectifs, dont la sommedesdegrés,«, «', soitégaleàw, si m es i, 2,3(mod.Zi), ou km -h i, sim^so (mod. 4), sauf exclusion de ceux des systèmes (n, n') l'un des nombres n ou n' est lui-même un multiple de 4, ou bien est de la môme forme que m par rapport au module 4-

» II. Les mêmes raisonnements s'appliquent au cas des points doubles font partie des données et conduisent au théorème suivant :

» Théorème. Toute sur/ace algébrique Sf„, déterminée par ^ points doubles (étant supposé qu'il soit permis de prendre tous ces ^ points doubles

arbitrairement) et par'-^{m- -+- 6m i- 1 1) 4^ autres points simples donnés,

peut être engendrée, d'au moins u/ic manière, à l'aide de deux faisceaux pro- jectifs, d'ordres n, n', dont la somme des degrés n -H n' est égale à m {ou à m + \, si m est midtiple de 4), quelques-unes des combinaisons (n, n') devant d'ailleurs être exclues comme impropres, si n ou n' y est multiple de 4, ou bien s'il est de la même forme que m par rapport au module l\.

» Dans ce cas, le nombre des points inconnus qu'il est nécessaire d'in- troduire dans les bases des faisceaux générateurs est diminué du nombre S des points doubles donnés et s'exprime, en conséquence ('), par la for- mule

(A) X = ^ 6.

» m. Actuellement, si l'on demande que S, au lieu d'être un nombre donné, soit le plus grand nombre que comporte le système (n, n') adopté pour la génération de S„, U est clair que ce maximum serait atteint si l'on pou- vait constituer les deux bases B„, B„' de telle sorte qu'elles ne continssent que les points X (formule A) avec les points 8 (en nombre encore non dé- terminé) qui doivent entrer dans chacune d'elles, afin que leur superposi- tion y donne lieu à autant de points doubles dans la surface engendrée S,„.

(' ) On a, en eilel,

D„,~ 45 - (B„ 1- B„.- 20 - X) r. 3X + 3; d'où, eu subsliluaul à 1J„,, B„, ]J„. leurs valeurs,

, mit { m -\- Il 4) 'l "" 2

( ■^' )

Or il est bien aise de voir i[iie eelLc eoiidition s'exprime par la relation (' ) (C) ?î^li„ + lV-(X-^) = B„-hJV _p^'»(^>^ + /'-4)-4»'--^j.

') Si le ternie négatit du second membre de ré(|nalion (('.) est égal à 1^« ■+" '^//. J'i valeur que cette équation attribue à S sera le maxinnnn relatif au système (/?, n'); s'il est moindre, il sera soit <], soit =, soit > que H,, (//' étant supposé <^ n) : dans le premier cas, les deux bases recevront, outre les points <^, un certain nombre tle points simples (x) pris parmi les points donnés et de points (v); dans le deuxième cas, B,/ se conijjosera exclusivement des points (S) et l'on aura pour le maximum relatif i5 = B,/, tandis que B„ contiendra, en outre de ces mêmes points (î5), tous les points X et un certain nombre de points (x); enfin, dans le troisième cas, on rabaissera le nombre donné par l'équation (C) à la valeur de ii„', et l'on aura encore f5 = B,,», tandis que B„ contiendra, comme dans le deuxième cas, ces mêmes points (Î5), tous les points K et un certain nombre de points (y.).

» Enfin, si le terme négatiF dont il s'agit est plus grand que B„+ B,,', comme Ï5 ne peut être qu'un nombie positif, ce sera une preuve que le système ( n, n' ) est impropre à la génération de S^„, et ([u'il faut recourir à l'emploi d'un autre système n soit plus grand et n' moindre que dans celui-là.

» A partir de celui des systèmes consécutifs pour leciuel le nombre donné par la formule (C) commencera à être positif, tous ceux qui le sui- vent dans l'ordre de décroissance de n' (sauf, bien entendu, ceux que la forme de n ou den' oblige d'exclure) scronl propres ii une solution di\ [)ro- blème et fourniront chacun leur maxinuuii relatif.

» De la sorte, on obtiendra une suite de nombres (maxima relatifs) â,, So, S., ... qui iront d'abord en croissant, puis en décroissant comme B„-

C) On a, eu elTet, dans celle hypothèse, les poinls 3 et les points X sufliseiil seuls à reiuplir les deux bases,

X-(-3o-=B„+l{„-; d'où

20

et, par suite,

^ B„ + B„ - I ^ 7 '^J

iii/i{m -h n 4) 4 «■' ''

3^B„ -B,,

( 2U }

liii-même; car, à parlir de ce moment, c'est sur la valeur de L>„-, et non plus sur celle donnée par la formule (C), que se règle la valeur qu'on doit adopter pour S (').

V En résumé, les calculs (qu'un peu de pratique abrège beaucoup, mais qu'il fallait mentionner tous dans une exposition didactique) seront arrêtés au premier des maxima relatifs qui, dans l'ordre naturel des opé- rations, se présentera avec une valeur égale à B„', ou plus grande que B„s mais qu'on devra réduire, dans ce dernier cas, à B„' même. Il ne restera plus, si l'on a faire usage (\\\n plan adjoint (ce qui est une nécessité lorsque t7i est multiple de 4), qu'à s'assurer si cette valeur de f^ permet de constituer la base B„ de l'autre faisceau générateur en n'y faisant entrer que les points (S), les points (X) et (s'il est nécessaire) un certain nombre des points simples donnés (a), mais à l'exclusion absolue des points auxi- liaires (/) qu'a introduits dans la question l'adjonction du plan supplémen- taire ('). Si cette dernière condition ne se trouve pas remplie, on devra diminuer progressivement le nombre S jusqu'à ce qu'elle soit satisfaite; si elle l'est, ou dés qu'elle le sera, on comparera cette valeur avec celle fournie par la formule (C) dans le système /jro/j/e (n, «') qui précède im- médiatement celui-là, et enfin l'on adoptera la plus grande de ces deux valeurs comme étant l'expression des maximum maximorum, que je dési- gnerai par Ag si n -'- ri = m dans la série des systèmes (/i, n') employée, et par A, si /* + «'= m -A- i dans cette série. Mais ce n'est point encore suf- fisant pour qu'on soit assuré d'avoir obtenu le maximum absolu qui est demandé. En effet, si l'on accroît le degré m d'une ou de deux unités (selon le cas), en adjoignant à S,,, un plan ou une So auxiliaire, il peut arriver (ainsi qu'on l'a vu pour les courbes planes) que le nouveau maxi-

(') Eu ellel, il est évident ((ue dans un système («, n' ) la valeur de o peut être au plus égale à (îelle de B„'. Donc, si la formule (C) donne pour o uu nombre plus grand que B„', soit égal à B„'-+- a, on devra le réduire à 3'= B,,'. Comme conséquence, B„ se composera deo' = B„'-i- -j. (points simples empruntés aux points donnés) +X'(=;X-r- a) jioints inconnus. De la sorte, toutes les conditions seront remplies et l'on aura encore

D„, - a 3 = 4 (3 ot) 4- 3 (X + a) -- 4o'4- 3X'= 4 + 3X'.

(-) Celte condition restrictive, concernant l'exclusion des points auxiliaires des bases des faisceaux, n'est pas moins absolue dans la théorie des courbes planes, et je ne crois pas inutile de le répéter ici, dans la crainte que la rédaction de ma iXote du i4 no- vembre y relative, n'y ait pas insisté avec assez de force ou de clarté (Voir Comptes rendus, p. 920).

( '-.'^ )

nium maximonim ohUMUi, A, on Ao, soit plus grand ([uo A„. En résumé, c'est le plus grand des trois nombres A^, A,, A^, lorsrpic m^ t, 2 ou 3 (module 4). «n <^les deux nombres A, , A^ , lorsque m L-r: o ()uodule 4), qui sera le maximum absolu cherche. Nous le désignerons par A.

M Telle est la marche élémenlaire (|u'il faul suivre pour risoiidrc le pro- blème proposé. Elle est, comme ou voit, tout à fait seud)labl(> à (('Ile qui convient dans la recherche analogue concernant les courbes planes.

» IV. Avant d'aller plus loin, il importe d'établir que le maximum A, fourni par l'application de la méthode, est bicMi le maximum absolu cherché.

» En efTet, supposons qu'il y eu ait un autre A', plus élevé. Il y aurait donc une surface S'„, pouvant être dotée arbitrairement de A'jioints doubles, avec d'autres points sim])les, au nombre de D,„— ^A', complétant sa détermi- nation. Si cela était, cette surface pourrait, en vertu du théorème ci-dessus ( (l), être engendrée par deux faisceaux (/t), («'), convenablement choisis, la somme n -+- n' étant, selon le cas, égale soit à m, soit à m -1- 1 , soit enfin il m -r- 2. Or on a déjà parcouru toute l'échelle des systèmes (n,n'), dans ces trois combinaisons, pour obtenir A, c'est-à-dire qu'on a déjà emplové tous les systèmes possibles, ou propres, qui s'y trouvent. On v aurait donc forcément rencontré la solution A', si elle existait. Donc elle n'existe pas; l'hypothèse est inadmissible, et le vrai maximum est bien celui A qui résulte des opérations indiquées.

» V. Je dois enfin montrer comment il est possible de faire servir une surface du second ordre adjointe, pour engendrer une surface S„ déter- minée par des conditions (points simples ou multiples) données en nombre suffisant. Cela revient à engendrer une surface de degré ni -~ 2, qui satis- fasse aux mêmes conditions que S,„ et qui, en outre, se décompose en la sur- face S,„ et en une surface du second ordre, dont les éléments, arbitraire- ment choisis, viennent accroître le nombre de ceux qui sont donnés pour S„,, et dont on fera abstraction, une fois l'opération terminée. Pour cela, il suffit d'ajouter aux points simples donnés (a), dont le nombre (d'après les notations adoptées) est D„,, ou (D,„— 4:^-) s'il y a y. points doubles donnés, un nombre La de points simples (/j, tel qu'on ait

(') Il s'ensuit que ce nombre excède d'une unité celui par lequel est déterminée la courbe d'intersection de deux surfaces d'ordres 2 et /w -r i, nombre qui est, |>;ir suite, m-^Qni -+-8. Ce résultat, qui peut s'étendre /)«/■ le même raisonnement à deuv sur-

( 24 ) Mais il est Lieu enteiuhi que, pas plus pour les surfaces que pour les courbes planes, aucun de ces points arbitraires (/) ne doit entrer dans les bases des faisceaux générateurs, leur unique fonction étant de concourir, avec ceux des points simples donnés (a.) qu'on n'y a point employés et qui restent disponibles, à servir pour la détermination des points incon- nus {x), dont le nombre est X, et pour établir la projectivité des deux fais- ceaux qui en réclame trois. Or un calcul facile prouve que V adjonction de m^ + Gm + 9 points auxiliaires pris à volonté (avec la seule condition qu'un seul d'entre eux ne soit pas situé sur la courbe gauche d'intersec- tion de So avec S,„^o) satisfait précisément à cette double détermination,

c'est-à-dire que

D,„ + (;«--}- (Sm + 9) = 3X -f- 3.

» VI. Je vais, en terminant et pçur mieux fixer les idées, appliquer la méthode à un cas individuel, et je suppose qu'on demande quel est le maximum absolu A du nombre des points doubles qu'il est permis d'attri- buer arbitrairement à une surface du dix-septième degré.

» En tenant compte des règles données ci-dessus, les systèmes propres (n, n') sont ici :

» i" Pour n H- n' = i'j,

(10,7), (11,6), (i3,/|), ...,

et les valeurs correspondantes de (5 (dont la deuxième et la troisième ont été réduites à celles de Bj) sont, respectivement,

(5 = 35, 82, 33, ... ; donc A„ == 82.

» Pour -I- «' = I 7 + I (il est fait usage ici d'un plan adjoint); les systèmes propres sont

(9,9), (11,7), (i3,5), ...,

les valeurs de î) (dont la première doit être écartée comme négative), sont respectivement

(5 = - 9, 57, 54, ...; donc A, ^ 57.

faces d'ordres m el m' , s'accorde avec celui que Jacobi a déduit d'autres considéra- tions dans le Journal de Crelle, t. 15, p. 299.

( 25 )

)) Enfin, pour -t- n' = 1 7 + 2 (il est fait usage ici d'une S., adjointe), les systèmes propres sont

(10,9), (r3,6), (i4,5), '...,

les valeurs de S (dont la première doit être écartée comme étant négative) sont, respectivement,

(5 = i5, 82, 54, . . . ,

d'où A. = 82, égale à A„ et plus grande que A,. Donc enfin le maximum absolu demandé pour S,, est A = 82.

» Soit, en second lieu, proposé de trouver le maximum A pour la sut*« face du quatrième ordre. A cause que 4 est multiple de il faut admettre immédiatement un plan adjoint. On a, pour rt-4-/i'=4-Hi. le système unique (3, 2), pour lequel la formule (C) donne S = i3, qu'il faut d'abord réduire à Bo = 8. On aurait ainsi la solution

S4n =

B3 = [8(;5 ) + 5(7.) -H o(cc)] = 18, B, = [8(.V)| = 8,

et d'où

05=^55-4.8 = 23, S = 23 - 5 = 18 = 3 + 3.5 = 3 -i- 3X,

mais celle solulion est illusoire; car les données de S* sont huit points doubles (équivalant à trente-deux points simples) et deux autres points simples (y.). Donc, en complétant avec cinq points simples la base B3 on y a introduit, en outre de ces deux points (■/.), trois points auxiliaires, ce qui est interdit; mais, si l'on réduit S d'une unité, c'est-à-dire si l'on prend

S = 7, on a

B,^[7(î))-+-6(.r) + 5(z)] = i8,

B,=[7(S) -h I (..)! = 8,

S

1+1

et comme on peut alors disposer de six points simples (y.) donnés, puisque 34 4.7 = 6, la solution est correcte, et A = 7. Quant à l'emploi de S, adjointe, il est impropre dans ce cas. Donc enfin A = 7, ainsi qu'on le con- clut immédiatement de considérations géométriques directes. Il n'y a, en effet, que la surface du quatrième ordre composée de l'ensemble des deux surfaces du second ordre (dont chacune est déterminée par les huit points donnés pour être doubles et par l'un des deux points simples, respeclivc-

C. R., 18SS, I" Semestre. (T. CVI, 1.) '

( 26 )

ment) qui soit déterminée par huit points doubles donnés et deux points simples. Mais alors cette surface (décomposablc et non propre) possède une infinité de points doubles, savoir tous les points de la courbe gauche, intersection des deux S-, que les huit points déterminent et qui est une courbe double de cette S,,, égale à So + S,,. » Etc., etc. »

CHRONOMÉTRIE. Sur une objection faite à l'emploi d'amortisseurs électro- magnétiques dans les appareils de synchronisation. Note de M. A. Counu.

« M. Wolf considère les amortisseurs électromagnétiques comme une « complication » et leur reproche la possibilité d'amener l'arrêt de toutes les horloges d'un service de distribution de